Jump to content
Калькуляторы

Теорема Котельникова «для чайников» простыми словами

Материал: Попробуем нестандартно в сравнении с книгами по радиоэлектронике и цифровым системам связи простыми житейскими примерами объяснить суть теоремы Котельникова. Полный текст

Share this post


Link to post
Share on other sites

Наиболее подходящая аудитория для ЭТОГО - читатели "Пионерской правды" или какого-либо развлекательного издания для блондинок. А нанюхавшаяся змейка - реклама запрещённых веществ. "Как это развидеть?".

Edited by NN----NN

Share this post


Link to post
Share on other sites

А мне понравилось. Все в порядке ас аудиторией, даже показалось, наоборот, примеры и объяснения слишком сложные, можно было проще. А заодно с дискретизацией рассказал бы автор про квантование. 

И еще бы кто рассказал популярно по теорему Шеннона. А то при общении с клиентами (да и со специалистами иногда) периодически  всплывают сказки про всякие "ртутные антенны" и пр. сверхъестественные системы. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

@NN----NN 

Это и называется объяснение "для чайников" максимально простыми и лучше даже для запоминания нестандартными примерами. Смысл публиковать материал в деловом стиле изложения, этого добра можно найти в сотнях учебниках, многие из них с кучей непонятных формул (для большинства простых людей) и поэтому читать им  их неинтересно.  Тема профессиональная связисткая, не для блондинок. Чем вам не угодила развлекательная форма, nag это же интернет портал, а не ваковский научный журнал.

Share this post


Link to post
Share on other sites

На Наге уже давно не было хоть чего-то стоящих обзоров и статей.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Как раз и не понравилась та первая часть, которая "для чайников".  Вы почему-то решили, что у аудитории уровень знаний на уровне плинтуса, раз пишите, что такое "герц" ("2000 Гц означает, что гармоника совершает 2 тысячи колебаний в секунду").

Зачем-то пример со "змейкой", могли бы использовать музыкальный пример вместо "змейки", добавив к звучанию/изображению отдельных нот ещё и одновременное звучание 2-3 нот (аккорд) и продемонстрировав то, что при выборе частоты дискретизации нужно учитывать частоту самой высокой ноты в аккорде.

 

Из замечаний/придирок:

Например, название "Аналоговые и дискретные процессы в природе". Правильнее - "Непрерывные и дискретные ..."

 

В тексте слова "непрерывный" и "аналоговый" Вы используете как полные синонимы, а это не так. Непрерывным м.б. и аналоговый сигнал, и цифровой, а аналоговый сигнал м.б. и не непрерывным.  А ведь дискретность/непрерывность напрямую связаны со спектром.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Благодарю за замечание!
Вот что хотелось еще отметить. Сейчас разброс уровня знаний людей очень велик. Конечно, еще со школьного курса физики все должны знать, что такое Гц. Однако поверьте, в настоящее время даже среди связистов я встречал людей, не знающих, что такое Гц. Кроме того, не надо забывать про новичков в этой области, которые могут читать данную статью (а про уровень современного школьного образования вообще говорить не хочется). Возможно, это пояснение и чересчур элементарное, но вы как специалист просто пропустите его мимо глаз (или отреагируйте на это по принципу "повторение - мать учения"), в этом же нет ничего страшного. Для кого-то возможно это пояснение освежило память и помогло лучше понять принцип выбора частоты дискретизации.
 

Share this post


Link to post
Share on other sites

 Нормальная статья. Единственного не хватает, что условия этих теорем невозможно в этом мире преодолеть. Есть пока физические пределы, типа скорость света, и пределы модуляции, до которых мы еще не доросли. Это я про пацанов, да мы тут гиг дадим, но не клиенту. Пусть пытаются 4096куам внедрить, а чо - 4К телевизоры уже пошли.

Share this post


Link to post
Share on other sites
В 22.02.2019 в 17:51, NN----NN сказал:

В тексте слова "непрерывный" и "аналоговый" Вы используете как полные синонимы, а это не так. Непрерывным м.б. и аналоговый сигнал, и цифровой, а аналоговый сигнал м.б. и не непрерывным.  А ведь дискретность/непрерывность напрямую связаны со спектром.

Вы здесь, кмк, заблуждаетесь. Посмотрите на определение аналогового сигнала (из Википедии в данном случае) 

Цитата

Ана́логовый сигна́л — сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным множеством возможных значений

Слово непрерывно специально выделено. Цифровой сигнал (математический) не может быть непрерывным - функция его описывающая, не является непрерывной.

При этом со спектрами у Вас тоже путаница - цифровой сигнал (например, прямоугольный импульс или их последовательность) приобретает то новое свойство, что его спектр становится бесконечным, но не периодическим. Принимает совершенно новые свойства именно дискретный сигнал - его спектр становится периодическим с частотой дискретизации.

Другое дело, что идеальных цифровых сигналов не бывает и на осциллографе можно, естественно, рассмотреть, растянув развертку, фронт и спад импульсов. И в этом смысле сигнал будет аналоговым.

Такой вот дуализм получается. 

Отсюда, кстати, проистекает то, что математические (и приближенные к ним реальные) цифровые сигналы имеют бесконечный спектр и формально не могут быть дискретизированы по теореме Котельникова, но благодаря тому, что они имеют затухающий спектр, высшими составляющими пренебрегают, специально отрезая их фильтром, чтобы они потом после дискретизации за счет наложения "хвостов" спектра не вносили искажений в сигнал.

И вот это очень важное обстоятельство автором не отмечено. Зато приведен, как считаю, дурацкий пример, имеющий чисто академическое значение, связанное с ломанием головы, какой спектр будет у sinc(x), а еще с переводом "нечеловеческой" аналитической формы представления сигналов в нормальную человеческо- техническую.

P.S. Хотя мое описание тоже не безупречно и чувствую, что и у меня тут есть путаница в терминологии.

Поэтому выражу соответствие между классом сигнала и видом его спектра:

1. Аналоговый (непрерывный сигнал) -> конечный спектр. Пример - гармоника, АМ, ЧМ- колебания.

2. Не непрерывный сигнал (дискретный) -> бесконечный спектр. Пример - прямоугольный импульс, последовательность импульсов.

3. Дискретизированный сигнал, то есть сигнал, в котором взяты отсчеты из сигналов класса 1 или 2  -> периодический спектр с частотой дискретизации, сам вид спектра в пределах одного периода сохраняется.      

Edited by frol13
Дополнение

Share this post


Link to post
Share on other sites
В 22.02.2019 в 12:38, Глеб Высоцкий сказал:

И еще бы кто рассказал популярно по теорему Шеннона.

Не являюсь глубоким специалистом в этой области. Но тут интересное совпадение. Вчера, разбирая всякие научно-технические книги, наткнулся на сборник статей по теории и технике телевидения от 2007 г, в котором товарищ доказывал на уровне философско-технических размышлений, что теорему Шеннона понимают превратно, и что его предел не имеет смысла в отрыве от его же теории кодирования. И что они в свое время решили задачу передачи телеметрии из космоса интуитивно не по Шеннону, поскольку по Шенннону у них не вышло, а потом доказали математическую теорему, уточняющую теорему Шеннона, но она не была принята научным сообществом. Призывает пересмотреть догмат Шеннона и проч. Причем он лично встречался с Шенноном. В подробности я не вдавался, но заинтриговало. Надо посмотреть на досуге в праздники. Спасибо за напоминание.     

Share this post


Link to post
Share on other sites
35 минут назад, frol13 сказал:

Вы здесь, кмк, заблуждаетесь.

Нет. Просто не хочется тратить время на более подробные рассуждения с целью критики текста статьи . Потому что для изложения сути теоремы Котельникова достаточно слов о том, что для качественного восстановления исходного аналогового сигнала после его преобразования (дискретизации) необходимо выбирать частоту дискретизации больше, чем удвоенная частота самой высокочастотной гармоники в исходном сигнале. Это слова для массового читателя, всё остальное интересует профессионала - качество дискретизирующего сигнала, кол-во уровней квантования, качество ФНЧ и т.д.

 

36 минут назад, frol13 сказал:

При этом со спектрами у Вас тоже путаница

Нет. Я знаю, что чем короче сигнал, тем шире его спектр, а у "идеального прямоугольного импульса" - спектр бесконечный. Поэтому и написал, если Вы не заметили, про это

В 22.02.2019 в 17:51, NN----NN сказал:

А ведь дискретность/непрерывность напрямую связаны со спектром

frol13, про "преобразование Фурье" я знаю уже лет 30.

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 час назад, NN----NN сказал:

Нет. Просто не хочется тратить время на более подробные рассуждения

 

1 час назад, NN----NN сказал:

Я знаю, что чем короче сигнал, тем шире его спектр

 

1 час назад, NN----NN сказал:

frol13, про "преобразование Фурье" я знаю уже лет 30.

Ну я тоже немного "знаю" про "преобразование Фурье". И откуда отсчитывать "знаю"- вопрос философский. Если от того, как в голову начали вдалбливать в вузе (а потом видел в работе), то я "знаю" - более 30 лет, если от того, как сам других учил (и поглубже разобрался) - то лет 10, а если от того, что не являюсь узким специалистом в этой области, не занимался научными исследованиями на эту тему - то ничего не знаю.

P.S. Кстати, мой опыт преподавания показал, что тему спектров студенты никак не могут освоить, несмотря на многократные повторения и даже усиленные "тыкания носом" в лабораторные работы.   

Share this post


Link to post
Share on other sites

Во многом споры возникают из-за разного понимания терминов. Внесу расшифровку употребляемых терминов:

аналоговые - произвольные по уровню(амплитуде) и непрерывные по времени;

дискретные - произвольные по уровню(амплитуде) и дискретные по времени;

квантованные - квантованные по уровню (или дискретные по уровню) и непрерывные по времени;

цифровые - квантованные по уровню и дискретные по времени;

 

Цифровой сигнал непрерывным быть не может, кто не согласен, приведите пример непрерывного цифрового сигнала (здесь под цифровым сигналом понимаю дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал).

 

Да, для решения задачи необходимо знать какой спектр будет у sinc(x) - это важно знать для понимания восстановления сигнала с помощью ФНЧ и вообще взаимосвязи восстановления сигнала с помощью ряда sinc-функций.

 

Представление сигналов в "нечеловеческой" аналитической форме сделано специально, чтобы человек понял как правильно определить частоту у тригонометрического сигнала и что подразумевают под частотой при спектральном анализе сигналов.

 

Непрерывный сигнал не обязательно имеет конечный спектр. Он может иметь бесконечный спектр, если задан на конечном интервале времени. Пример - отрезок синусойды (радиоимпульс)

С Уважением

Share this post


Link to post
Share on other sites
23 минуты назад, svazist сказал:

это важно знать для понимания восстановления сигнала с помощью ФНЧ и вообще взаимосвязи восстановления сигнала с помощью ряда sinc-функций.

Вы точно ничего не путаете? Проверьте, пож, себя по литературе.

25 минут назад, svazist сказал:

Непрерывный сигнал не обязательно имеет конечный спектр. Он может иметь бесконечный спектр, если задан на конечном интервале времени. Пример - отрезок синусойды (радиоимпульс)

Согласен. И пример- хороший. 

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 минут назад, frol13 сказал:

Вы точно ничего не путаете? Проверьте, пож, себя по литературе.

здесь я имею ввиду то, что импульсная характеристика идеального ФНЧ - sinc функция. Восстановление сигнала может быть представлено во временной области сверткой дискретного сигнала с импульсной характеристикой идеального ФНЧ

Share this post


Link to post
Share on other sites
28 минут назад, svazist сказал:

здесь я имею ввиду то, что импульсная характеристика идеального ФНЧ - sinc функция. Восстановление сигнала может быть представлено во временной области сверткой дискретного сигнала с импульсной характеристикой идеального ФНЧ

Это верно, но сложно представимо. Все гораздо нагляднее в частотной области, где Вы, собственно, и демонстрировали неперекрытие спектров, как выполнение условия восстановления сигнала. Вырезается основной лепесток спектра с помощью ФНЧ и спектр приводится назад к виду недискретизированного исходного сигнала.

Кстати, там же можно посмотреть и другую возможность (поковыряться правой рукой в левом кармане, чего никто не делает) - вырезать не основной, а второй лепесток полосовым фильтром, а потом продетектировать. Теоретически- результат будет тот же самый, практически- нет, поскольку амплитуда его меньше+ шумы+ сложности+ искажения.

Кстати, картинка спектра дискретизированного сигнала утрирована до неправильности - повторяющиеся лепестки спектра убывают по закону sinc (f).  

Share this post


Link to post
Share on other sites

Вообще, надо отметить, что временное представление сигналов принято в импульсной технике, как более наглядное.

В радиотехнике принято частотное описание, как более наглядное. При этом наглядность подразумевает и простоту манипуляций.

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 час назад, frol13 сказал:

Кстати, картинка спектра дискретизированного сигнала утрирована до неправильности - повторяющиеся лепестки спектра убывают по закону sinc (f).  

Это если производить дискретизацию импульсами ненулевой длительности, что ближе к практике. В теории, если использовать для выборки единичные импульсы или дельта-функции Дирака, повторяющиеся лепестки спектра убывать не будут.

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 час назад, svazist сказал:

В теории, если использовать для выборки единичные импульсы или дельта-функции Дирака, повторяющиеся лепестки спектра убывать не будут.

Ваша правда. Утрируя, можно изображать одинаковыми.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Вообще, здесь конечно множество тонкостей и можно углубляться и углубляться до бесконечности. Если стараться изложить это все в одной статье, то получится книга ))
Вообще мне очень нравится фраза: "Чем больше ты узнаешь, тем больше понимаешь, как мало знаешь"

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 часа назад, svazist сказал:

Внесу расшифровку употребляемых терминов:

аналоговые - произвольные по уровню(амплитуде) и непрерывные по времени;

дискретные - произвольные по уровню(амплитуде) и дискретные по времени;

квантованные - квантованные по уровню (или дискретные по уровню) и непрерывные по времени;

цифровые - квантованные по уровню и дискретные по времени;

Да, расшифровка необходима.

 

"непрерывность"  у Вас в статье - "непрерывность во времени" или "непрерывность (без разрывов) по уровню/значению"?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Заметки по случаю.

Cегодня на занятиях со студентами потребовалось мне вспомнить кое-что про спектры (4-й курс и это им по специальности). Специально свернул в сторону теоремы Котельникова, которую они уже проходили.

С простыми вопросами про спектры еще через пень-колоду разобрались. Теорему Котельникова они сформулировали и сказали на словах, в чем ее ограничения, но интерпретацию в частотной области, то есть, на спектрах, не знают совсем. Даже не могут спектр дискретизированного сигнала изобразить. Не знают про необходимость применения НЧ фильтра перед дискретизацией. А эта интерпретация и показывает смысл. То есть в теории что-то знают, смысла и применения не понимают.  

Share this post


Link to post
Share on other sites

А может проблема не только в студентах а и с обучением что то не так?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Теорема Котельникова конечно хороша, но это частный случай теоремы Найквиста

Share this post


Link to post
Share on other sites
21 час назад, ichthyandr сказал:

Теорема Котельникова конечно хороша, но это частный случай теоремы Найквиста

Почитайте Википедию:

Цитата

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Certain topics in telegraph transmission theory» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер получил тот же результат. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом: «Любую функцию , состоящую из частот от 0 до , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через  секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон, поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this